🎶 這是好和弦的「音律的故事」系列的第 2 篇文章，總共有 6 篇。

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前情提要

在前一篇文章，我提到說了我們的眼睛看到的各種顏色，其實只是各種不同頻率的電磁波。

我們把人眼可以看到的電磁波叫做「可見光」，可見光的頻率範圍差不多是 400-790 THz。而我們再進一步把這些頻率劃分為幾個區段，並給它們一些名字；例如 526-606 THz 這一段叫做「綠色」、668-789 THz 這一段叫做「紫色」等等。

然後我之前也說到，人類可以聽到的聲音頻率範圍大約在 20 Hz 到 20,000 Hz。雖然比起光線的頻率，這個數字看起來小得多，但如果以比例的方式來看的話，聽覺頻率的下限和上限，實際上是相差了高達 1,000 倍。

幫聲音取名字

在這麼大的 20 Hz 到 20,000 Hz 這個範圍內，我們應該怎麼幫不同的音高取名字呢？是否可以仿照我們幫顏色取名字的方法一樣，隨意選取幾個頻率或範圍，然後把它們冠上 Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si 的名字，這樣就可以了嗎？

答案當然是……不行。如果這麼簡單的話就好了。

如果只是單純把 20 Hz 到 20,000 Hz 這麼大一塊頻率範圍，隨意（但是差不多平均分配地）指定中間七個頻率，來代表 Do Re Mi Fa Sol La Si 的話，那麼 Do Re Mi Fa Sol La Si 的音高可能會變成類似這樣子：

很顯然地這種天真的想法完全行不通，我們需要更聰明的做法。

住在希臘的聰明男人很喜歡比例

還好在大約 2,500 年前，在希臘出現了一個很聰明的男人，他的名字叫做 Πυθαγόρας，或是用我們看得懂的寫法──畢達哥拉斯（Pythagoras）。

畢達哥拉斯留給我們的，除了關於直角三角形的很重要的事情之外，他也給了我們一個在音樂上的超級重要的事情，那就是「八度」（octave）。

因為畢達哥拉斯是一個很有好奇心的聰明人，所以他一定會對為什麼周遭有這麼多高低不同的聲音感到有興趣；加上他的數學程度很顯然地還不錯，所以他一定會思考聲音跟數學，或是跟宇宙，有什麼關聯。

據說畢達哥拉斯喜歡用比例來思考，他深信宇宙萬物都可以用整數以及它們的比例來表示（後來我們當然證明了他是錯的）。這也是為什麼當他的學生希帕索斯（Hippasus）發現 √2 是個無理數的時候，他會不爽到把希帕索斯丟到海裡去的原因了。

畢達哥拉斯的聲音實驗

總之，畢達哥拉斯真的很喜歡比例，所以他也超級想要用比例來解釋聲音頻率互相的關聯。

據說，畢達哥拉斯的聲音實驗，是在一台單弦琴上完成的，他測試了不同長度的弦，看看產生的聲音有什麼不同。我們當然不知道他當時是怎麼做實驗的，但是整個流程很有可能很類似是以下這樣子：

• 首先，畢達哥拉斯把一條弦架在單弦琴上，然後用手指撥它，假設這條弦產生了以下的聲音。

• 畢達哥拉斯能夠想到的最簡單的整數比就是 1:1 了，所以他再撥了同一條弦一次。當然，這是同一條弦，再撥一次的話當然還是產生同樣的聲音。

• 除了 1:1 以外，你能想到的、第二簡單的整數比是什麼呢？大概就是 2:1 吧？於是畢達哥拉斯把剛剛那條弦的長度減少成原本的一半，使原來那條弦跟它的長度比是 2:1，然後撥它，產生了以下的聲音。

• 然後他應該有發現，把一條弦的長度剖半產生的聲音，跟原本整條弦的聲音很像，根本就像是同一個聲音的不同版本而已。以下我連續播放彈整條弦的音高，和長度剖半的音高：

• 如果繼續把弦長剖半、再剖半，變成原本的四分之一跟八分之一，產生的聲音也都會很像是同一個聲音的不同版本。以下我連續播放「原來弦長、二分之一、四分之一和八分之一長度」的聲音：

後來我們知道了弦的長度和所產生的頻率有反比關係，也就是當弦的長度變成原來的一半時，產生的頻率剛好會是兩倍。而經過以上的實驗，畢達哥拉斯發現，所有的聲音好像都會在頻率變成兩倍時重複。

等價八度（octave equivalence）

換句話說，不管一開始選了哪一個頻率，只要把那個音的頻率變成剛好兩倍（也就是把弦長減半），就會得到「同一個音，但音高更高的版本」。後來我們把頻率比為 1:2 的兩個音叫做「八度」（octave），以及把這兩個音聽起來很相似的現象叫做「等價八度」（octave equivalence）。

這就是為什麼我們只需要幾個音名，就可以形容這麼大一段聲音頻率範圍的原因：一旦我們把某個頻率叫做「Do」，那麼那個頻率的兩倍、四倍、八倍、十六倍、三十二倍⋯⋯等等頻率的聲音，因為聽起來就像是「Do」的不同種版本，自然我們就也可以把這些頻率全部叫做「Do」。或者用更學術的說法，我們說這些頻率是屬於同一個「音高集合」（pitch class）。

問題在於「分割一個八度」

於是，我們得出了一個重要結論：我們一開始試圖解決的「如何劃分 20 Hz 到 20,000 Hz 的頻率範圍，並給它們名字」的這個問題，根本是錯誤的問題。

我們應該做的是：「任意選定一個頻率 x，只需分割 x 到 2x 這一個八度範圍內的頻率，並且給它們一些名字，再把這些名字複製到頻譜的其他範圍」。

這種方法，也就是只在一個八度內劃分並命名音階，然後把這些名稱重複應用在其他的八度，幾乎在所有文化和音階系統中都是通用的。

待續：怎麼分割一個八度？

以上，就是今天的關於「八度」的討論。

現在我們有了共識，知道只需要選定一個八度，然後在那個八度內幫不同頻率的聲音取名字就好了。那接下來的問題就是，在這個八度中，要選擇哪些頻率來取名字呢？要把八度分割成幾等分呢？這些更深入的問題，我們會在下一篇文章繼續討論，繼續閱讀吧！

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