🎶 這是好和弦的「音律的故事」系列的第 4 篇文章，總共有 6 篇。
前情提要
在上一篇文章，我們詳細解說了畢達哥拉斯是如何用 2:3 這個簡單的整數比，來把一個八度的頻率範圍分割成七個音。
不過你可能會問，為什麼是七個音呢？為什麼不是六個音、八個音或其他呢？好問題！
事實上，畢達哥拉斯當時的古希臘音階，其實是只有四個音的；那時候的看法，是把一個八度看成「兩個四音音階拼在一起」的組合。不過我自己對古希臘調式也不是很了解，而且老早就沒有人在用古希臘調式了，如果你有興趣的話，可以到維基百科看 Tetrachord 這篇文章，我就不要在這裡裝懂、繼續追究下去了。
總之，其實根本就沒有人知道，畢達哥拉斯到底有沒有算到第七個音。我們確定的只有，他的確是拿 2:3 這個比例為基礎來求出頻率的。
我自己的猜想是，如果繼續照著他「將頻率乘以 3/2 來求得下一個音」的方法，第七個音的頻率 729x/512 乘以 3/2 後，第八個音的頻率會變成 2187x/1024。這個數值跟 2x 有一點點太接近了，所以可能就是因為這樣，導致他覺得算到七個音就可以了吧。
不管啦，我就是想要更多音
但一千多年後的中世紀的歐洲音樂學家們，還是覺得只有七個音而已有一點太無聊，於是就想要多增加一些新的音。或者用上篇文章的說法就是：「把 x 到 2x 這個頻率範圍再細分成更多段」。
但是要怎麼做呢？當對於音階有疑問的時候，就再去問畢達哥拉斯就對了。於是，畢達哥拉斯有一天，就托夢給那時候的音樂學家說：
「將頻率乘以 3/2，如果超過 2x 的話就除以 2 ❤️」
於是剛睡醒的音樂學家們，就從畢達哥拉斯留下的第七個音 729x/512 出發：
- 729x/512 乘以 3/2 得 2187x/1024。這個數字超過 2x 了，所以除以 2，得到第八個音2187x/2048。
- 繼續將 2187x/2048 乘以 3/2，得到第九個音 6561x/4096。
- 6561x/4096 再乘以 3/2，得 19683x/8192。這個數值同樣超過 2x，因此除以 2，得到第十個音 19683x/16384。
- 接著 19683x/16384 乘以 3/2，得到第十一個音 59049x/32768。
- 59049x/32768 再乘以 3/2，得 177147x/65536。這個數值超過 2x，所以除以 2，得到第十二個音 177147x/131072。
算到這個時候，音樂學家們有一點點緊張。因為如果這個第十二個音 177147x/131072 乘以 3/2 後的第十三個音，神奇地恰好變成 2x 的話，就表示一個八度可以用 2:3 的比例完美分割成十二份，這樣畢達哥拉斯的理論就是完美的了！
所以 177147x/131072 乘以 3/2 的結果是多少呢？會不會正好是 2x 呢？答案是⋯⋯（小鼓輪奏聲）⋯⋯531441x/262144！（失望聲）
真可惜，沒有等於剛好 2x。不過如果你算一下，531441/262144 這個數字差不多是 2.027，只比 2 多出 0.027 而已，幾乎就快要是 2x 了阿！
很可能發生過的對話
然後你就可以想像，當時的音樂學家們的聚會中，可能出現了以下的對話：
音樂學家Ａ：「真可惜，如果第 13 個音剛好等於 2x 的話就完美了！這樣一個八度就是完美地被簡單整數比 2:3 給分割成 12 個音了⋯⋯」
音樂學家Ｂ：「不過第 13 個音也離 2x 夠近了拉！你看看 531441x/262144 = 2.02728653x，才差 0.027 個八度而已阿！不如我們的音階就 12 個音就好了，這樣不是比較簡單嗎？」
音樂學家Ａ：「可是這樣第 12 個音跟 2x 一起彈的話不是會很難聽嗎？你聽聽看其他同樣的組合都好好的⋯⋯（彈）」
音樂學家Ａ：「可是就是這兩個音很難聽。（彈）」
音樂學家Ｂ：「還好吧！你聽⋯⋯（再聽幾次）⋯⋯誒，好像真的有點難聽耶！」
音樂學家Ａ：「⋯⋯⋯⋯」
音樂學家Ｂ：「⋯⋯⋯⋯」
音樂學家Ｂ：「靠，管他的，反正這兩個音也很少用。」
音樂學家Ａ：「也對，反正難聽也是作曲家的問題，干我Ｐ事！對了，你上次說啤酒很好喝的地方在哪裡？」
於是，當年歐洲中世紀的音樂學家，處理第 12 個音跟 2x 頻率合在一起不好聽的方式就是：「不管他」。
這種完全用 2:3 比例來決定音階頻率的算法，會造成一個八度裡面，有其中一個完全五度聽起來很難聽。他們那時候就真的是想說，反正又不是每一個完全五度的組合都很常用，寫曲子的人，自己避開那個很難聽的地方就好了。
或者從另一個角度來說，因為調音的人可以自由決定要把所謂的「頻率 x」設定成哪一個音，所以他可以控制那個很難聽的五度要出現在音階的哪個地方。這樣一來，只要根據演奏的曲目，把那個很難聽的五度，放在那首曲子不會用到的音那裡就可以了。
狼音程
總結來說，使用畢達哥拉斯的調律法把一個八度切成 12 個半音，必定會造成其中一個完全五度會很難聽，因為這兩個音的頻率比不是完美的 2:3，而是 177147:262144。
但是當時的音樂學家決定不管它，真的決定把這個難聽的音程組合留在音階中。這個音程後來被命名為「狼音程」或「狼五度」（wolf interval 或 wolf fifth）。它的聲音有點像之前文章和影片中提到的鋼琴走音的「抖抖」聲，至於為什麼會有人覺得這個很像是「狼」，我也不是很清楚。
「狼音程」的問題直到大約十八世紀初才稍微被解決。在那之前，作曲家寫作時必須小心避開導致狼音程的音符組合，導致他們的曲子只能寫在某些調、只能用某些和弦，也不能任意轉調。
如果你堅持要寫出會產生「狼音程」的曲子會怎樣？我接下來要彈一個小片段，先用現代正常的音律演奏一次，然後用畢達哥拉斯的音律再演奏一次，你聽聽看差別。首先是現代的音律：
然後是畢達哥拉斯的，會有很難聽的五度的音律：
待續：為什麼後來沒有狼音了？
至於為什麼更後來的音樂就沒有狼音的問題了呢？要發展成我們現代所用的音階系統，需要達成的突破是什麼？關於音律的故事還有很多可以說，趕快繼續閱讀下一篇吧！
喜歡這篇文章嗎？
這篇文章也有影片版 → WiwiVideo | YouTube
如果覺得我的文章和影片對你有幫助，希望你可以藉由購買我的《鋼琴技巧急診室》和《即興幼幼班》課程、實體書、大包裝、加入頻道會員，或至少在社群媒體分享這篇文章，以實際行動來幫助好和弦的持續運作。謝謝你！
也希望你可以使用 E-mail 訂閱我，這樣才不會錯過我的最新內容喔！